2018年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析

2018-10-21 长沙成考 未知
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2018年成人高考专升本
高等数学考前复习重点分析
第一章 函数、极限和连续
§1.1  函数
一、 主要内容
㈠ 函数的概念
 1. 函数的定义:   y=f(x),   x∈D
定义域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函数:
3.隐函数:   F(x,y)= 0
4.反函数:   y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
            y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
     是严格单调增加(或减少)的;
     则它必定存在反函数:
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。    
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
  当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( 
 );
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( 
 );
    若f(x1)<f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( 
 );
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( 
 )。
 
 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称
   偶函数:f(-x)=f(x)
   奇函数:f(-x)=-f(x)
 
 3.函数的周期性:
   周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
   周期:T——最小的正数
 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
 
㈢ 基本初等函数
1.常数函数: y=c ,  (c为常数)
2.幂函数:   y=xn ,   (n为实数)
3.指数函数: y=ax , (a>0、a≠1)
4.对数函数: y=loga x ,(a>0、a≠1)
5.三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x
              y=arctan x, y=arccot x
 
㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] ,  x∈X
 
2.初等函数:
  由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1. 数列的极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A.
 
定理: 若的极限存在必定有界.
 
2.函数的极限:
 ⑴当时,的极限:
 
⑵当时,的极限:
  
  左极限:
  右极限:
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
 
㈡ 无穷大量和无穷小量
1.无穷大量:
  称在该变化过程中为无穷大量。
 
 
  X再某个变化过程是指:
  
2.无穷小量:
  称在该变化过程中为无穷小量。
3.无穷大量与无穷小量的关系:
 定理:
4.无穷小量的比较:
 ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;
 ⑵若 (c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
 ⑶若,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;
 ⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。
 
定理:若:
      则:
 
 
㈢两面夹定理
1. 数列极限存在的判定准则:
 设: (n=1、2、3…)
 且:
 则:
2. 函数极限存在的判定准则:
 设:对于点x0的某个邻域内的一切点
   (点x0除外)有:

 且:
 则:
 
 
㈣极限的运算规则
  若:
  则:①

   
 推论:①
         


 
㈤两个重要极限
 1.   或
 2.     


§1.3 连续
一、 主要内容
㈠ 函数的连续性
1. 函数在处连续:的邻域内有定义,
   1o
   2o
   左连续:
   右连续:
2. 函数在处连续的必要条件:
 定理:处连续处极限存在
 
3. 函数在处连续的充要条件:
 定理:
 
4. 函数在上连续:
   上每一点都连续。
   在端点连续是指:
     左端点右连续;
      右端点左连续。
     
        
 
5. 函数的间断点:
处不连续,则的间断点。
 
间断点有三种情况:
 1o处无定义;
 2o不存在;
3o处有定义,且存在,
   但
 
  两类间断点的判断:
 
  1o第一类间断点:
特点:都存在。
可去间断点:存在,但
,或处无定义。
 
 
 
 
  2o第二类间断点:
特点:至少有一个为∞,
      或振荡不存在。
无穷间断点:至少有一个为∞
㈡函数在处连续的性质
1. 连续函数的四则运算:
  设
  1o 
  2o 
  3o      
 
2. 复合函数的连续性:
   
    
   则:
 
3. 反函数的连续性:
   
   
 
 
 
 
 
 
 
㈢函数在上连续的性质
 1.最大值与最小值定理:
上连续上一定存在最大值与最小值。
 

a) 有界定理:
   上连续上一定有界。
 3.介值定理:
  上连续在内至少存在一点
 ,使得:,  
其中:


 
   推论:
   上连续,且异号内至少存在一点,使得:
b) 初等函数的连续性:
   初等函数在其定域区间内都是连续的。


第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
 1.导数:的某个邻域内有定义,
    
         

 2.左导数:
右导数:
  定理:的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
    则:
   (或:
3.函数可导的必要条件:
  定理:处可导处连续
 4. 函数可导的充要条件:
  定理:存在
                          且存在。
 5.导函数:     


 内处处可导。                              
6.导数的几何性质:                                                 
    是曲线上点                                                 
处切线的斜率。                               
㈡求导法则
 1.基本求导公式:
 2.导数的四则运算:
  1o 
  2o 
  3o      
 3.复合函数的导数:
  
   ,或    
☆注意的区别:
  表示复合函数对自变量求导;
  表示复合函数对中间变量求导。
4.高阶导数:
  
  函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
 1.微分:的某个邻域内有定义,
   
   其中:无关,是比较高
        阶的无穷小量,即:
   则称处可微,记作:
        
                
 2.导数与微分的等价关系:
 定理:处可微处可导,
且:
 
 
 
 3.微分形式不变性:
   
   不论u是自变量,还是中间变量,函数的
微分都具有相同的形式。